2015年第五届“学而思杯”六年级

2015

年第五届

“

学而思杯

”

六年级杯赛

命题人：邹家意

总分：

150

分

时间：

90

分钟

一、填空题．

（每题

10

分，共

80

分）

1.

26

41

47

39

71

________

15

24

28

56

60

．

【难度】

★★

【考点】计算：分数裂项

【答案】

7

【解析】

11

17

19

39

11

1

1

1

1

15

24

28

56

60

3

2

5

3

3

8

4

3

7

7

8

4

15

-

4

4

3

5

3

8

4

7

7

8

15

4

2

1

3

1

3

1

1

4

1

1

4

-

5

3

8

3

7

4

8

7

4

15

1

1

2

1

3

4

1

1

3

1

4

-

3

3

5

15

7

7

4

4

8

8

4

1

1

1

7

原式

2.

若干个体积为

1

3

cm

的小正方体木块平堆在地面上，其俯视图如（

1

）

，侧视图如（

2

）

，

那么这堆木块的表面积最多等于

________

2

cm

．

【难度】

★★

【考点】几何：三视图求表面积

【答案】

46

【解析】要让表面积最大，则应该让小正方体块数最多，符合该条件的三视图如下（其

中（

3

）是主视图）

：

（

2

）

（

1

）

易得：这堆木块的表面积最多等于

2

7

5

7

2

4

2

46

cm

．

3.

甲、乙两只桶装有酒，甲桶有酒

800

斤，酒精占比

17.92%

；乙桶有酒

1200

斤，酒精占

比

59.37%

；那么，两桶互相交换

________

斤才能使两桶酒的酒精占比相等．

【难度】

★★

【考点】应用：浓度问题

【答案】

480

【解析】

对于此类问题，不管两者浓度是多少，都可直接应用以下公式得出结果：

甲溶液重量

乙溶液重量

交换量

甲溶液重量

乙溶液重量

那么本题结果为

800

1200

480

800

1200

斤．

【思考】以上结论该如何证明？

4.

将长为

15

厘米的木棒截成长度为整数厘米的三段，使它们构成一个三角形的三边，则

不同的截法有

________

种．

【难度】

★★

【考点】计数：枚举结合几何

【答案】

7

【解析】设木棒被截成长度为

厘米，

厘米，

厘米

a

b

c

的三段（

,

,

a

b

c

为非零自然数，且

15

a

b

c

，且

a

b

c

）

，要构成三角形，必须满足

a

b

c

，则

,

,

a

b

c

只有下列

7

种可能：

1,7,7

2,6,7

3,5,7

3,6,6

4,4,7

4,5,6

5,5,5

、

、

、

、

、

、

，故有

7

中不同截法．

5.

1

2

3

4

5

7

x

x

x

x

x

有

________

组不同的自然数解．

【难度】

★★★

【考点】计数：隔板法

【答案】

330

【解析】

（

3

）

（

2

）

（

1

）

由于未知数

1

2

3

4

5

、

、

、

、

x

x

x

x

x

都有可能取

0

，所以先

“

借

”1

给每个未知数，则本题等同

于

“

将

12

7

5

12

（

）

个相同的苹果分到

5

个不同的盘中，

共有多少种方法

”

，显然，

共有

5

1

4

12

1

11

330

C

C

种方法，即：该方程有

330

组不同的自然数解．

6.

下图中，

、

、

、

E

F

G

H

为正方形

ABCD

四条边上的点，三角形

GBM

的面积比三角形

CNE

的面积多

2

29

34

cm

，

且

2

3

4

5

CD

DE

DF

AG

BH

．

已知那么正方形

ABCD

的面

积等于

________

2

cm

．

【难度】

★★★

【考点】几何：风筝模型

【答案】

28

【解析】用

S

表示正方形

ABCD

的面积，加辅助线如下：

由左图可得：

3

1

3

1

4

2

8

GBE

S

S

S

，

1

1

1

1

5

2

2

20

HBE

S

S

S

，

所以

3

15

8

1

2

20

GBE

HBE

S

S

GM

HM

S

S

，

所以

15

15

1

3

1

9

2

15

17

5

4

2

136

GBM

GBH

S

S

S

S

；

由右图可得：

1

2

BFC

S

S

，

1

1

1

1

2

3

2

12

EFC

S

S

S

，

所以

1

2

6

1

12

BFC

EFC

S

S

BN

EN

S

S

，

O

N

M

E

H

G

F

D

C

B

A

A

B

C

D

F

G

H

E

M

N

O

O

N

M

E

H

G

F

D

C

B

A

易得：这堆木块的表面积最多等于

2

7

5

7

2

4

2

46

cm

．

3.

甲、乙两只桶装有酒，甲桶有酒

800

斤，酒精占比

17.92%

；乙桶有酒

1200

斤，酒精占

比

59.37%

；那么，两桶互相交换

________

斤才能使两桶酒的酒精占比相等．

【难度】

★★

【考点】应用：浓度问题

【答案】

480

【解析】

对于此类问题，不管两者浓度是多少，都可直接应用以下公式得出结果：

甲溶液重量

乙溶液重量

交换量

甲溶液重量

乙溶液重量

那么本题结果为

800

1200

480

800

1200

斤．

【思考】以上结论该如何证明？

4.

将长为

15

厘米的木棒截成长度为整数厘米的三段，使它们构成一个三角形的三边，则

不同的截法有

________

种．

【难度】

★★

【考点】计数：枚举结合几何

【答案】

7

【解析】设木棒被截成长度为

厘米，

厘米，

厘米

a

b

c

的三段（

,

,

a

b

c

为非零自然数，且

15

a

b

c

，且

a

b

c

）

，要构成三角形，必须满足

a

b

c

，则

,

,

a

b

c

只有下列

7

种可能：

1,7,7

2,6,7

3,5,7

3,6,6

4,4,7

4,5,6

5,5,5

、

、

、

、

、

、

，故有

7

中不同截法．

5.

1

2

3

4

5

7

x

x

x

x

x

有

________

组不同的自然数解．

【难度】

★★★

【考点】计数：隔板法

【答案】

330

【解析】

由于未知数

1

2

3

4

5

、

、

、

、

x

x

x

x

x

都有可能取

0

，所以先

“

借

”1

给每个未知数，则本题等同

于

“

将

12

7

5

12

（

）

个相同的苹果分到

5

个不同的盘中，

共有多少种方法

”

，显然，

共有

5

1

4

12

1

11

330

C

C

种方法，即：该方程有

330

组不同的自然数解．

6.

下图中，

、

、

、

E

F

G

H

为正方形

ABCD

四条边上的点，三角形

GBM

的面积比三角形

CNE

的面积多

2

29

34

cm

，

且

2

3

4

5

CD

DE

DF

AG

BH

．

已知那么正方形

ABCD

的面

积等于

________

2

cm

．

【难度】

★★★

【考点】几何：风筝模型

【答案】

28

【解析】用

S

表示正方形

ABCD

的面积，加辅助线如下：

由左图可得：

3

1

3

1

4

2

8

GBE

S

S

S

，

1

1

1

1

5

2

2

20

HBE

S

S

S

，

所以

3

15

8

1

2

20

GBE

HBE

S

S

GM

HM

S

S

，

所以

15

15

1

3

1

9

2

15

17

5

4

2

136

GBM

GBH

S

S

S

S

；

由右图可得：

1

2

BFC

S

S

，

1

1

1

1

2

3

2

12

EFC

S

S

S

，

所以

1

2

6

1

12

BFC

EFC

S

S

BN

EN

S

S

，

所以

1

1

1

1

1

1

1

6

7

2

2

28

CNE

CBE

S

S

S

S

；

所以：

2

9

1

63

34

29

29

136

28

4

34

7

4

34

7

34

GBM

CNE

S

S

S

S

S

S

cm

，

即：正方形

ABCD

的面积

2

4

7

28

S

cm

．

7.

在

1

至

2100

的所有自然数中，与

210

互质的数之和等于

________

．

【难度】

★★★

【考点】数论：欧拉公式

【答案】

504000

【解析】

由于

210

2

3

5

7

，根据欧拉公式知：在

1

至

2100

的所有自然数中，与

210

互质的

数共有

1

1

1

1

2100

1

1

1

1

480

2

3

5

7

个，其中每

2

个数作为

1

组，和为

2100

，所以总和等于

480

2

2100

504000

．

8.

如图，

六边形

ABCDEF

中，

,

AE

EC

BC

EC

，

EF

平行于

AC

,

90

AEF

ECD

，

2

3

,

2

6

FEC

ECD

AE

BC

S

S

,

20

四边形

ABCE

S

,

则

________

四边形

ABDE

S

．

【难度】

★★★

【考点】几何：蝴蝶模型，鸟头模型

【答案】

21

【解析】

由于

AE

EC

，所以

90

AEC

；

F

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

又由于

90

AEF

ECD

，所以

180

FEC

ECD

，

所以有：

2

FEC

ECD

S

FE

EC

FE

S

EC

CD

CD

；

由于

BC

EC

，所以

90

BCE

；

又由于

90

AEF

ECD

，所以

180

FEA

BCD

，

所以有：

2

3

3

1

2

FEA

BCD

S

FE

EA

S

CD

BC

；

由于

EF

平行于

AC

，所以

6

FEA

FEC

S

S

，所以

1

2

3

BCD

FEA

S

S

；

所以

20

3

2

21

四边形

四边形

ABDE

ABCE

ECD

BCD

S

S

S

S

．

二、解答题．

（每题

10

分，

40

分）

9.

一次数学竞赛，某校有

200

多人参加，成绩都是整数，其中

1

18

的人不到

70

分，

1

7

的人

不到

80

分，

1

4

的人达到

90

分．那么得分在

80

分至

89

分的有多少人？

【难度】

★★★

【考点】应用：分数应用题结合数论

【答案】

153

人

【解析】

由题知：总人数为

18

、

7

、

4

的公倍数，由于三个数的最小公倍数等于

252

，所以总人

数就是

252

．那么得分在

80

分至

89

分的有

1

1

252

1

153

7

4

人．

10.

已知最简分数

,

5

7

a

b

满足

2.3

5

7

a

b

，求

a

b

的所有可能值之和．

【难度】

★★★

【考点】计算：比较大小与估算

【答案】

218

【解析】

由于

2.3

5

7

a

b

，所以

2.25

2.35

5

7

a

b

，即

2.25

35

7

5

2.35

35

a

b

，

即：

78.75

7

5

82.25

a

b

，

所以

7

5

79

80

81

82

或

或

或

a

b

，

由于

5

a

是最简分数，

所以

a

不是

5

的倍数，即

7

5

79

81

82

或

或

a

b

：

①

7

5

79

a

b

易解得：

2

7

13

6

或

a

a

b

b

②

7

5

81

a

b

易解得：

3

8

12

5

或

a

a

b

b

③

7

5

82

a

b

易解得：

1

6

11

15

8

1

或

或

a

a

a

b

b

b

综上，

a

b

等于

11

、

15

、

26

、

36

、

40

、

42

或

48

，即

a

b

的所有可能值之和等于

218

．

11.

两块手表显示时间都采用二十四小时制（即显示范围为

0

时

0

分

0

秒至

23

时

59

分

59

秒）

，走时一快一慢，快表比标准表每

2

小时快

3

分钟，慢表比标准表每

7

小时慢

4

分

钟．现在把快表指示时间调成

9

点

5

分

0

秒，慢表指示时间调成

11

点

1

分

0

秒，那么

两块表第一次指示相同的时刻是多少？

【难度】

★★★

【考点】行程：钟面行程

【答案】

18

点

29

分

0

秒

【解析】

设经过标准表上的

x

小时后，两块表第一次指示相同，则：

9

60

5

60

3

11

60

1

60

4

2

7

x

x

x

x

解得：

56

x

由于

56

9

60

5

60

56

3

60

66

29

2

，

66

24

2

18

，所以此时，两块表

指示的时刻都是

18

点

29

分

0

秒．

12.

在一个圆周上等距离分布着